山、雲、木等も自然物を表現するにはフラクタルが有用です。フラクタルと いう言葉は、マンデルブロ(Mandelbrot)による造語です。フラクタルは、不規則な形状、自己相似性をもつ形態を表現できます。これにより、自然界の物を模擬し、自然の情景を描写することができます。例として、コッホの曲線やシルピンスキーのギャスケットがあり、相似な大小の形状が組み合わされています。

1. レベル２ (b) レベル６

図5.1 シルピンスキーのギャスケットの分割過程

（a）繰り返し数ｎを設定

（b）最初の3角形の頂点座標を設定（図5.２中Ｐ_０、Ｐ_１、Ｐ_２）。

（c） 最初の3角形を描画し、3角形を作成するメソッド（triangle）を呼ぶ。

（c）triangleでは、内側の 3角形を描画し、ｎが１になるまで自分自身を再帰呼び出し。

（c.1） 外側の3角形の各辺の中点座標を計算する(図中Q₁、Q₂、Q₃)。

（c.2）内側の3角形を描く。

（c.3）3角形の頂点を置き換えて、3つの3角形（図中T₁,T₂,T₃）の頂点を置き換えて、再帰呼び出しする。

ここでの例は、、および繰り返しレベル ｎを指定するすることによる再帰的描画方法とする。

1) シルピンスキーのギャスケット；初期値設定および再帰的描画

2) 三角形を再帰的に作成:

5. ３ 一価関数の隠線消去

この隠線消去はスクリーン空間で行われる。基本的な考え方は、ｘ、ｙ、またはｚの一定値による幾つかの平行平面による曲面を考える。すなわち、幾つかの曲線の集合で表現できる。これらの切断曲線をスクリーンに投影し、２次元スクリーン上で隠線消去を行なう。その際、視点に近い断面上の曲線から順に描画する。

いま、ｘ、ｙ平面がスクリーンに対応し奥行きがｚ軸となる座標系を考える。この方法は投影後のスクリーン座標において隠線消去を行なう方法である。一価関数で表現される曲面がこの隠線消去に適している。一価関数とは、ｚ＝ｆ（ｘ、ｙ）のように与えられたｘ、ｙ座標に対しｚは１個しか価が存在しない関数である。ここでは、ｙ＝ｆ（ｘ、ｚ）の関数を考え、ｚ = zi （I=0,1,…n）の際の曲線を描く。ここで、視点に近い順に描画する。その際描画した曲線が存在した最大値と最小値を各ｘ座標（スクリーン座標）について記憶する。次の層の曲線を描く際記憶している最大値と最小値の範囲外なら描画し、そうでないなら描画しない。この操作を繰り返す。

1. 最大・最小値を記憶するバッファを初期化する。
2. 曲線を手前から順に生成（ｚ＝ｆ（ｘ、ｙ））し、

点P(x, y,z)を透視投影しスクリーン座標p’(x’,y’)を算出する。

3. 最大・最小関数から、可視判定を行なう。可視なら点 p’ 描画し、最大・最小関数を更新する。

3次元座標の透視変換を行なうクラスTrans、注視点、視点を設定し、変換マトリックスの係数を計算した後に、各頂点について座標変換（または投影）を行なう。座標変換の場合は３次元座標（３次元の実数のクラスPoint3）、投影の場合は２次元（２次元の整数クラスPoint）が戻る。

なお、 視点は極座標（R、θ、Φ）で与える。マウスをドラッグして動かすと、視点が変化できるようにする。この際、マウスを左右するとθ、上下させるとΦが変化するものとする。

図５．３ 関数の隠線消去の例 図５．４ 最大値を利用した隠線消去

曲面を上方から眺めている場合を考える。図５．４に示すように、既にＰａ1、Ｐｂ１を通過する曲線が描かれているとき（その際各画素でのｙの値は記憶）、Ｐ_a2,P_b2を通過する曲線を描く場合、点Ｐ_a2においては記憶されているｙの値（すなわちＰ_ａ1のｙ）より大きので可視、またＰ_ｂ2においては記憶されているｙの値より小さいから不可視と判定される。

class Trans { Point3 ptViewRef = new Point3(0, 0, 0); // 注視点の3次元座標 double theta, phi, R; // 視点位置（Ｒ、θ、Φ） double cos_theta=1., cos_phi=1., sin_theta=0., sin_phi=0.; Trans() { } public void setVRpnt( double x, double y, double z) { ptViewRef = new Point3(x,y,z); } // 注視点の設定 public void setview(double r, double the, double ph) { theta=the; phi=ph; R=r; } // 視点の設定 public void preper() { // 変換マトリックスの係数計算 double d2r= Math.PI/180.; cos_theta =Math.cos(theta*d2r); sin_theta = Math.sin(theta*d2r); cos_phi = Math.cos(phi*d2r); sin_phi = Math.sin(phi*d2r); } public Point3 tranfrm(Point3 point) { // 透視変換(3次元à 3次元） Point3 p1 = new Point3(); Point3 p2 = new Point3(); // 平行移動 p1.x = point.x ? ptViewRef.x; p1.y = point.y ? ptViewRef.y; p1.z = point.z ? ptViewRef.z; // 座標回転 double xy = cos_theta*p1.x+sin_theta*p1.y; p2.z =(R-cos_phi*xy-sin_phi*p1.z)/R; p2.x = cos_theta*p1.y-sin_theta*p1.x; p2.y = cos_phi * p1.z ? sin_phi * xy; return p2; } public Point project (Point3 point) { // 投影（3次元à 2次元） Point3 p1= tranfrm(point); Return new Point((int)(p1.x/p1.z), (int)(p1.y/p1.z)); } }

透視投影の式は資料[1]の2.6を参照のこと。

実数の３次元座標を記憶するクラスPoint3 を準備する。

3) 曲線を描画する関数

ここで、（x_origin、y_origin）はスクリーンの中心座標で, width, height はスクリーンサイズである。上のプログラムは視線とＺ軸とのなす角が９０度以内のときのみうまくいくもので、他の方向から見る場合には、描画する曲線の順を変更する必要がある（例えば、ｙループの中にｚループとする）。描画する点のスクリーン座標（px,py）を考えると、py < ymin[px] またはpy > ymax[px] ならその点は可視であり、ymin[px] またはymax[px]を更新する。

4) 曲面関数生成

ここでの関数FuncHatの例は z = z₀(cos(sgrt(x²+y²)) + cos(3sqrt(x²+y²))) を用いた。戻り値は３次元座標を表現できるPoint3クラスである。

public Point3 FuncHat(int x, int y) { // Function z = F(x,y) double rd= Math.PI/180; double r = Math.sqrt(x*x+y*y)*rd; double z = 30.*(Math.cos(r) + Math.cos(3.*r)); return new Point3(x, y, z); }

ワイヤーフレーム表示とは、隠線消去を行なわないで表示する方法である。ここでは簡単のため凸多面体の代表的な立方体を対象とする。 視点は極座標（R、θ、Φ）で与える。マウスをドラッグして動かすと、視点が変化できるようにする。この際、マウスを左右するとθ、上下させるとΦが変化するものとする。

基本的には、次の手順からなる。

立方体の場合、８頂点と６面からなる。これを記憶するため、頂点の3次元座標を記憶するクラス Point3 （５．３参照）と、面を記憶するクラス Plane を準備する。また、座標変換のためのクラスTrans （5.3参照）も利用する。

多面体は頂点および面に番号を付けし、各頂点の3次元座標はpoint[ ] (クラス Point3）に、面はその構成頂点を face[ ] (クラス Plane)に記憶する（データ構造は資料[1]参照）。描画は面単位に行なう（クラス Plane のメソッドdrawを利用）。この方法では、辺は２つの面の稜線であるため辺は２度描きされている。

ここで使用している配列とクラスとの関係は下記のようである。

1) 立方体の描画関数

2) 立方体生成の関数；

面（多角形）の構成番号を記憶し、描画する。

class Plane { public int set[ ]; // 面の構成頂点の配列 public int npoint=0; // 面の頂点数 Plane() { set = new int[4]; } // 面の構成頂点番号の配列の確保 public void add(int k) { // 頂点番号の追加 set[npoint] = k; npoint ++; } public void draw(Graphics g, int x_origin,int y_origin,Point point[]) { for (int i = 0; i < npoint; i++) { int ii = i+1; if(ii==npoint) ii=0; g.drawLine(point[set[I]].x+x_origin, y_origin-point[set[i]].y, // 各辺の描画 point[set[ii]].x+x_origin, y_origin ? point[set[ii]].y); } } }

1) 下記ディレクトリからJavaソースおよびHTMLファイルをコピーして練習して下さい。

BresenS.javaはBresen.javaのマウス部分が無いものである。JDK.1.１とJDK.1.0に対応するため、JDK.1.１用のものはJDK.1.0部分はコメントとしている。JDK.1.0対応のものはコンパイル時に警告が出るが、実行可能なので警告は無視して下さい。

練習問題を行なうに当たっては、マウスの機能の有無、背景や線の色の変更、画面サイズの変更、見る方向変更などを試みて、自分なりのプログラムに修正して下さい。

• Bresenhamの直線描画： HTMLファイルで描画する２端点の座標を指定できるように変更してみる。

• コッホ曲線の描画； マウスで画面をクリックするごと複雑な図形になるようにする。すなわちレベルｎをマウスクリックで１づつ増加するように変更
• 一価関数曲面の表示： 関数を変更する。
• 多面体のワイヤーフレーム表示； 立方体のデータを直方体に変更する。

また、練習課題に関する最新情報は ~knisi1482/index.html をブラウザーで起動して参考にして下さい。

2) 本科目に関する情報（課題等）は、下記ＵＲＬを参照して下さい。