TECHNICAL NOTE · NEURAL RENDERING × CAD

NURBS 曲面から標本化した点群を
NeRF で近似する

関連研究の整理と、付属デモ（nerf_nurbs_pointcloud.html）の手法・描画精度／ 2026 年 9 月 29 日

要旨

CAD で使われる NURBS 曲面は形状を厳密な式で表すが、写実的な描画や学習には向かない。一方、NeRF（Neural Radiance Fields）は空間の各点の密度と色を返す連続関数をニューラルネットで表し、任意視点の画像を合成できる。本稿ではまず、点群と NeRF を結び付ける研究と、CAD・NURBS をニューラル表現と結び付ける研究を整理する。続いて、付属デモが採用した「NURBS → 有理ベジエ分解 → 面積一様な点群 → 多視点画像 → ハッシュ格子 NeRF」という手順を式とともに説明し、実測した精度を示す。同じマグカップ形状で比べると、学習に使っていない視点の PSNR は、学習画像 64 px のとき 26.9 dB、192 px のとき 32.2 dB だった（いずれも 3,000 ステップ）。

1背景：NURBS と NeRF

NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）は、制御点 P_ij、重み w_ij、ノット列から曲面を定める表現で、円・球・トーラスなどの二次曲面も重みを使えば正確に表せる。曲面上の点は次の有理式で与えられる。

S (u, v) = \frac{\sum_{i, j} N_{i, p} (u) N_{j, q} (v) w_{i j} P_{i j}}{\sum_{i, j} N_{i, p} (u) N_{j, q} (v) w_{i j}}

NeRF は、位置 x から密度 σ と色 c を返す関数 F_θ を学習し、画素ごとに光線に沿って積分して画像を作る。離散化した形は次のとおりで、δ は光線上の刻み幅、T_i はそこまでの透過率である。

C = \sum_{i = 1}^{N} T_{i} α_{i} c_{i} + T_{N + 1} c_{bg}, α_{i} = 1 - e^{- σ_{i} δ}, T_{i} = \prod_{j < i} (1 - α_{j})

NURBS は「正確だが離散的な操作が多い」表現、NeRF は「近似だが連続で微分可能」な表現である。NURBS から点群を経由して NeRF を作ると、CAD 形状を学習ベースの描画・生成・再構成の枠組みに載せられる。その代わり、元の式が持っていた厳密さは近似誤差に置き換わる。この交換がどの程度の誤差で成り立つかを見るのが、本稿の後半の主題である。

2用語と学習のしくみ

以降の節で使う用語を先に説明する。あわせて、NeRF の「学習」が何を入力にして、どれだけの量を使うのかを具体的に示す。

2.1 MLP（多層パーセプトロン）

最も基本的な形のニューラルネットワークである。数値の組を入力し、「重みを掛けて足し合わせ、少し曲げる（非線形関数を通す）」処理を何段か繰り返して、数値の組を出力する。各段の計算ユニットをニューロンと呼び、入力と出力の間にある段を隠れ層と呼ぶ。

本デモの MLP は、空間の 1 点について「そこにどのくらいの濃さで、何色の物があるか」を答える関数である。重み（調整できる数値）を変えると関数の形が変わり、学習とはこの重みを目的に合うよう調整することを指す。

図 1高精細設定のネットワーク構成。丸はニューロン、線は重みを表し、線は一部だけを描いている。隠れ層の各ニューロンは入力 32 個に重みを掛けて合計し、負なら 0 にする（ReLU）。重みの数は MLP 部分で約 2,400 個、ハッシュ格子部分で約 840 万個あり、学習ではこれらすべてを調整する。

2.2 Adam（最適化アルゴリズム）

重みをどう調整するかを決める方法の名前である。霧の中で、足元の傾きだけを頼りに谷底を探す状況を想像するとよい。勾配は足元の傾きで、各重みをどちらへ動かせば誤差が減るかを表す。最も単純な方法（勾配降下法）は、傾きの向きに一定の歩幅で進む。Adam はこれに 2 つの工夫を加える。

勢いをつける：過去の傾きの平均 m を覚え、その向きに進む。坂の細かな凹凸に惑わされにくい。
重みごとに歩幅を変える：傾きの二乗の平均 v も覚え、傾きが大きく揺れる重みは小さく、安定している重みは大きく動かす。

m \leftarrow 0.9 m + 0.1 g, v \leftarrow 0.99 v + 0.01 g^{2}, θ \leftarrow θ - η \frac{\hat{m}}{\sqrt{\hat{v}} + ε}

g は勾配、θ は重み、η は学習率（歩幅の基準）で、m̂, v̂ は学習の初期に平均が小さく偏るのを補正した値である。細かな調整をしなくても安定して学習が進むため、深層学習で最も広く使われている。デモの「学習率」のスライダーは η にあたる。

2.3 PSNR（ピーク信号対雑音比）

2 枚の画像がどれだけ一致しているかを表す数値で、単位は dB（デシベル）である。画素値を 0〜1 として、全画素の誤差の二乗の平均（MSE）から次の式で求める。

PSNR = 10 \log_{10} \frac{1}{MSE} [dB]

値が大きいほど一致している。10 dB 上がるごとに MSE は 1/10 になる。

PSNR	平均的なずれ	見た目の目安
20 dB	約 10%	はっきり違う
26.9 dB	約 4.5%	本デモの 64 px 学習。輪郭のぼけが分かる
32.2 dB	約 2.5%	本デモの 192 px 学習。かなり近い
40 dB	約 1%	ほぼ見分けがつかない

「平均的なずれ」は、画素値の二乗平均平方根誤差を最大値に対する割合で表したもの（10^−PSNR/20）である。PSNR は画素ごとの差しか見ないため、人の目に目立つ輪郭のずれと、目立たない全体の色のずれを区別しない点に注意が要る。

2.4 Node.js を使った理由

Node.js は、JavaScript をブラウザの外（コマンドライン）で実行するためのソフトウェアである。デモを使うのに Node.js は必要なく、ブラウザだけで動く。開発中の検証にだけ使った。理由は次の 3 つである。

ブラウザ版と同じコードをそのまま試験できる：NeRF の計算部分を一字も変えずに実行できるので、試験で確かめた性質がそのままデモにも当てはまる。
画面なしで自動検証できる：勾配の検算（数値微分との比較）、速度の測定、本稿の比較画像（図 3）の生成を、プログラムで自動的に行った。
学習だけの速度を測れる：ブラウザでは画面の描画も同時に動くため、学習の計算時間だけを測るには画面のない環境が向いている。第 6 節の ms/ステップはこの方法で測った。

2.5 学習の入力と、その量

学習で入力するのは、点群を描いた画像と、その画像を撮ったカメラの位置・向きの組である。点群の座標そのものを NeRF のネットワークに入れることはしない。各画素には、色（RGB）、不透明度（物体か背景か）、深度（カメラからの距離）の 3 種類の値がある。

設定	点群	学習画像	画素の総数	1 ステップの光線	3,000 ステップで見る画素
標準	4 万点	24 枚 × 64×64	98,304	256	約 77 万（全画素の約 7.8 周分）
高精細	25 万点	48 枚 × 192×192	1,769,472	1,024	約 307 万（約 1.7 周分）
参考：元の NeRF 論文の合成データ	—	100 枚 × 800×800	6,400 万	4,096	—

1 回の学習（1 ステップ）は次の順に進む。

全学習画像からランダムに画素を選ぶ（標準 256 個、高精細 1,024 個）。
選んだ画素ごとに、カメラからその画素を通る光線を空間に飛ばす。
光線上の何か所かで MLP に密度と色を尋ね、式（ボリュームレンダリング）で積み重ねて、その画素の色を予測する。
予測した色と、学習画像の本当の色との差（誤差）を計算する。
誤差が減る向きに、Adam で全部の重みを少しずつ動かす。

これを数千回繰り返すと、どの方向から見ても学習画像と矛盾しない「空間の密度と色の分布」ができる。その結果、学習画像にない視点の画像も描けるようになる。点群の形状を直接使うのは、補助として「占有グリッド」（点がない空間を飛ばす）と「深度教師」（予測した距離が正しいかを確かめる）を ON にしたときだけである。

学習画像を増やすと描画精度は上がるが、それに応じて学習時間も延びる。ブラウザで動かせる規模に収めるため、本デモは元の論文より 1〜2 桁小さい画素数で学習している。

3関連研究

調査結果について：ウェブ検索の範囲では、「NURBS から標本化した点群を NeRF で近似する」手順そのものを主題とした論文は特定できなかった。この考え方は、下表の二つの系統が交わるところに位置する。特定の論文を念頭に置いている場合は、題名が分かればその論文に合わせて本節を書き直せる。

点群を NeRF に結び付ける研究

論文	点群の使い方	要点
Point-NeRF Xu ほか, CVPR 2022	特徴ベクトル付きの点群そのものを放射輝度場の表現に使う	光線上の標本点で近傍の点の特徴を集約して密度と色を求める。点の刈り込みと追加で外れ値や欠損を補い、NeRF と同等の画質を約 30 倍短い学習時間で得る。
Points2NeRF Zimny ほか, Pattern Recognition Letters 185, 2024	色付き点群からハイパーネットワークで NeRF の重みを直接生成	ShapeNet（車・椅子・飛行機）で、各物体 2,048 点の色付き点群と、200×200 の画像 50 枚を使う。生成した重みを初期値にすると、NeRF の学習が速く収束する。
Depth-supervised NeRF（DS-NeRF） Deng ほか, CVPR 2022	SfM で得た疎な点群の深度を追加の損失に使う	少ない視点でも形状が崩れにくく、学習も速くなる。本デモの「深度教師」はこの考え方に対応する。
Near-surface sampling Yoo ほか, Neural Processing Letters, 2024	深度から作った点群で物体表面の位置を推定し、その近くだけを標本化	光線あたりの標本数を約 1/4 に減らしても元の NeRF と同等の画質を得る。本デモの「占有グリッド」はこれに近い。

CAD・NURBS をニューラル表現に結び付ける研究

論文	CAD・NURBS の使い方	要点
CAD-NeRF Wen ほか, Frontiers of Computer Science	CAD モデルを検索し、NeRF の密度の初期化とカメラ姿勢の初期化に使う	姿勢の分からない 3〜9 枚の画像から NeRF を再構成する。ShapeNet の 9 視点で PSNR 21.9 dB を報告。
NeuroNURBS Fan ほか, arXiv 2411.10848, 2024	NURBS の制御点・重み・ノットを直接符号化する表現学習	UV 格子で曲面を近似する従来法と比べ、学習時の GPU メモリを 86.7%、立体の保存容量を 79.9% 削減。

本デモの基盤は、元の NeRF [1] と、多重解像度ハッシュ格子による高速化 Instant-NGP [2] である。点群の使い方は DS-NeRF [3] と Near-surface sampling [6] に近い。Point-NeRF [4] のように点群そのものを表現に組み込む方式は採っていない。

4デモの処理の流れ

図 2黒の経路が NeRF の本来の学習（画像だけから学ぶ）。青の経路は点群の形状情報を直接渡す補助で、占有グリッドは標本点の選別に、深度は追加の損失に使う。どちらもデモ上で ON/OFF できる。

5各段階の手法

5.1 NURBS から有理ベジエパッチへ

各ノット値の重複度が次数 p に達するまでノットを挿入すると、NURBS 曲面は多項式区間ごとの有理ベジエパッチに分かれる（The NURBS Book のノット挿入 [9]）。挿入は同次座標 (wx, wy, wz, w) 上の線形補間で行うので、形は一切変わらない。パッチ上の点は、同次座標で de Casteljau 法を適用してから w で割って求める。この部分は添付のスライス断面ビューアのコードをそのまま使っている。

5.2 面積に比例した一様サンプリング

パラメータ空間で一様に点を取ると、球の極のように引き伸ばしの強い部分に点が集まる。そこで各パッチを 6×6（パッチが 60 枚を超える形状では 4×4）に分割して三角形の 3D 面積を求め、面積に比例して三角形を選ぶ。三角形の内部では、重心座標

(1 - \sqrt{r_{1}}, \sqrt{r_{1}} (1 - r_{2}), \sqrt{r_{1}} r_{2}), r_{1}, r_{2} \sim U (0, 1)

で (u, v) を決め、その点を厳密な有理ベジエ式で評価する。三角形は選ぶ確率の計算にだけ使うので、点そのものは常に曲面上にある。法線はパラメータ方向の差分の外積で求め、極のように縮退する点ではパラメータを内側へずらして求め直す。点の色は「曲面ごとの色 × (0.3 + 0.7 |n·l|)」で、光源方向 l を固定したランバート陰影である。この色は視点によって変わらない。

5.3 学習画像の生成

点群を原点中心・半径 0.95 の球に収まるよう正規化し、半径 3.3 の球面上にフィボナッチ格子でカメラを並べる（画角 40°）。各点は、点の平均間隔 s = √(面積 / 点数) を半径とする円盤として Z バッファ描画し、面が隙間なく埋まるようにする。2×2 の超標本化で平均を取り、RGB・被覆率（不透明度）・深度の 3 種類の画像を作る。NeRF が見るのはこの画像だけで、点群の座標を直接は学習しない。

5.4 NeRF のネットワーク

Instant-NGP [2] と同じ多重解像度ハッシュ格子で位置を符号化する。レベル l の格子解像度は N_l = ⌊16·b^l⌋ で、b は最細レベルが指定値（256〜2048）になるよう決める。格子点の数が表サイズ T 以下のレベルでは格子点をそのまま並べ、それより細かいレベルでは次のハッシュで表を引く。

h (x, y, z) = (x \oplus 2654435761 y \oplus 805459861 z) mod T

各レベルで周囲 8 格子点の 2 次元特徴を三線形補間し、全レベルを連結した 2L 次元のベクトルを MLP（隠れ層 1 層、幅 64、ReLU）に入れる。出力 4 値のうち、密度は σ = exp(o₀)、色は c = sigmoid(o_1..3) とする。点の色が視点によらないので、視線方向は入力しない。

5.5 損失と勾配

1 ステップごとに、ランダムな視点・画素から光線を 256〜1,024 本選ぶ。背景色は光線ごとに乱数で決め、正解画像もその背景色と合成する。こうすると、背景色に頼って不透明度をごまかす解が選ばれなくなる。損失は色の平均二乗誤差に、不透明な画素だけで深度の二乗誤差（重み 0.05）を足したものである。勾配はすべて手で導出して実装した。密度に対する勾配は、後ろの標本点の寄与の累積和 S_i を持ちながら光線を逆向きにたどって計算する。

\frac{\partial C}{\partial σ_{i}} = δ (T_{i + 1} c_{i} - S_{i}), S_{i} = \sum_{j > i} T_{j} α_{j} c_{j} + T_{N + 1} c_{bg}

最適化は Adam（β = 0.9, 0.99）で行う。学習率は 1×10⁻² から 3 万ステップかけて 1/10 まで下げる。ハッシュ表は、そのステップで勾配が付いた要素だけを更新する。これで表を 2¹⁸ まで大きくしても、1 ステップの費用は光線数に比例したままになる。

5.6 点群の形状情報の使い方

占有グリッド：点を含むセルと、その周囲（点の間隔の 1.5 倍以上）を「占有」とし、それ以外のセルでは標本点を取らない。グリッドの解像度は学習画像の解像度に合わせて 48³〜128³ に変える。光線あたりの実際の標本数は、刻み数 128〜384 に対して 3〜10 点程度まで減る。深度教師：学習画像の深度と、NeRF の期待深度 ΣT_iα_it_i の差を損失に加える。どちらも OFF にすれば、画像だけから学習する通常の NeRF になる。

6描画精度と速度

6.1 幾何と勾配の検証

項目	方法	結果
NURBS 評価（Python 版）	Rhino の openNURBS の PointAt / NormalAt と 500 点ずつ比較	誤差 ≤ 1.8×10⁻¹⁵
点の位置（JS 版）	半径 1.5 の球・トーラス上の点と、式から求めた距離の差	≤ 1.3×10⁻⁷
法線（JS 版）	球上の点で、法線と半径方向の内積	1.000000
一様性	球上 5 万点の z 座標を 10 区間に分けた度数（均一なら各 5,000）	4,834〜5,130
面積の推定	点を選ぶ確率に使う面積（6×6 分割）の真値との差	−1.0〜−1.4%
逆伝播（色）	全パラメータ種別で数値微分と比較（最大相対誤差）	5.3×10⁻⁴
逆伝播（色＋深度）	同上	9.9×10⁻⁴

JS 版の点の誤差は、座標を 32 ビット浮動小数で保存したことによる丸め誤差の大きさである。面積の推定が 1% ほど小さいのは粗い三角形分割のためだが、これは選ぶ確率がわずかに偏るだけで、点の位置には影響しない。逆伝播の誤差も 32 ビット演算の精度の範囲に収まっている。

6.2 学習画像の解像度と画質

マグカップ形状（本体と取っ手の 2 曲面）で、学習画像 64 px の標準設定と 192 px の高精細設定を比べた。評価には、学習に使っていない視点（方位角 0.9 rad、仰角 0.45 rad）を 192×192 で描いた画像を使う。正解は点群を円盤で描いた画像で、どちらも白背景で合成して PSNR を求めた。

正解：点群を円盤として描いた192ピクセルの画像 — 正解（点群 25 万点の描画, 192 px）

64ピクセルで学習したNeRFを192ピクセルで描いた画像 — 正解（点群 25 万点の描画, 192 px）

図 4学習ステップ数と、学習に使っていない視点の PSNR（250 ステップごとに評価）。64 px は早く立ち上がるが、25〜27 dB の間を上下したまま頭打ちになる。192 px は 1 ステップが約 6 倍重いものの、1,000 ステップ前後で 64 px の到達点を上回る。

設定	点数	学習画像	パラメータ	ms/ステップ	PSNR
標準（64 px）	40,000	24 × 64²	788,292	22	26.9 dB
高精細（192 px）	250,000	48 × 192²	8,390,980	約 130	32.2 dB

ms/ステップは Node.js（1 スレッド）での平均で、評価の時間は除いている。ブラウザでは学習と描画が 2 つのスレッドで並行して動く。こちらの 2 コア環境では、標準設定で毎秒 28〜45 ステップ、高精細で毎秒約 5 ステップだった。

6.3 形状による違い（標準設定）

形状	占有セル率	標本点／光線	PSNR（2,000 ステップ）
トーラス（有理）	15.5%	5.0	28.6 dB
マグカップ	13.8%	4.2	28.3 dB
主翼と胴体	3.2%	0.8	29.7 dB

評価は、学習に使っていない視点を 48×48 で描いたもの。飛行機は画面に占める面積が小さく、背景の画素が多いため PSNR が高めに出る。PSNR 30 dB は、画素値の二乗平均平方根誤差が最大値の約 3.2% にあたる。

7精度を決める要因と限界

学習画像の解像度。物体中心の距離で画素 1 個が覆う幅は 2·3.3·tan 20° / R で、R = 64 なら 0.0375、192 なら 0.0125 である（物体の直径は 1.9）。NeRF はこれより細かい変化を学ぶ手掛かりを持たない。解像度を上げると画質は上がるが、細部を埋めるのに必要な点数・ハッシュ表の大きさ・光線上の刻み数も合わせて増やす必要がある。

点群の密度。正解画像は点を円盤で描いたものなので、点が疎だと円盤の縁の凹凸が「正解」に入り込む。ここで示した PSNR は点群の描画との一致度であり、元の NURBS 曲面との距離ではない。曲面に対する形状誤差を測るには、NeRF の密度場から面を取り出して、元の曲面との Chamfer 距離などを求める必要がある。

面が「薄い層」になる。NeRF は面を密度の高い薄い層として表すので、輪郭が半透明になり、深度にもぼけが出る。面の位置そのものを精度よく求めたい用途では、符号付き距離関数（SDF）を学ぶ NeuS 系の手法の方が向いている。

視点に依存しない色。点の色が固定のランバート陰影なので、視線方向の入力は省いている。鏡面反射のような、見る向きで変わる質感は扱っていない。

計算資源。すべて CPU 上の JavaScript で動くため、192 px を超える解像度や多数の視点では学習に時間がかかる。WebGPU の計算シェーダに移せば、同じ手順で 1〜2 桁の高速化が見込める。

参考文献

B. Mildenhall, P. P. Srinivasan, M. Tancik, J. T. Barron, R. Ramamoorthi, R. Ng. NeRF: Representing Scenes as Neural Radiance Fields for View Synthesis. ECCV 2020. arXiv:2003.08934
T. Müller, A. Evans, C. Schied, A. Keller. Instant Neural Graphics Primitives with a Multiresolution Hash Encoding. ACM Transactions on Graphics 41(4), 2022. arXiv:2201.05989
K. Deng, A. Liu, J.-Y. Zhu, D. Ramanan. Depth-supervised NeRF: Fewer Views and Faster Training for Free. CVPR 2022. arXiv:2107.02791
Q. Xu, Z. Xu, J. Philip, S. Bi, Z. Shu, K. Sunkavalli, U. Neumann. Point-NeRF: Point-based Neural Radiance Fields. CVPR 2022. arXiv:2201.08845
D. Zimny, J. Waczyńska, T. Trzciński, P. Spurek. Points2NeRF: Generating Neural Radiance Fields from 3D Point Cloud. Pattern Recognition Letters 185, 8–14, 2024. doi:10.1016/j.patrec.2024.07.002
H. B. Yoo, H. M. Han, S. S. Hwang, I. Y. Chun. Improving Neural Radiance Fields Using Near-Surface Sampling with Point Cloud Generation. Neural Processing Letters, 2024. arXiv:2310.04152
X. Wen, X. Zhu, R. Yi, Z. Wang, C. Zhu, K. Xu. CAD-NeRF: Learning NeRFs from Uncalibrated Few-view Images by CAD Model Retrieval. Frontiers of Computer Science. arXiv:2411.02979
J. Fan, B. Gholami, T. Bäck, H. Wang. NeuroNURBS: Learning Efficient Surface Representations for 3D Solids. 2024. arXiv:2411.10848
L. Piegl, W. Tiller. The NURBS Book, 2nd ed. Springer, 1997.