ベジエクリッピング法によるメタボールの表示

クリックしたレイ上の密度関数 F(t) − T（ベジエ関数）とクリッピング

アルゴリズム

1. 密度関数をベジエ関数で定義：中心からの距離 r を s = r²/R² に正規化し、密度を３次ベジエ関数で表す（s ≥ 1 では 0）。
   f(s) = Σ_k=0..3 b_k B_k³(s),　b₀ = 1, b₃ = 0（b₂ = 0 で s = 1 において C¹ 連続）
   b = (1,0,0,0) のとき f = (1−s)³ となり、従来のソフトオブジェクトの密度関数と一致する。b₁, b₂ で分布形状を自由に制御できる。
2. レイ上で区間分割：レイ p(t) = o + t d と各ボールの影響球（半径 R）の出入り点で t 軸を区間に分割する。各区間では、どのボールが影響しているかが一定である。
3. レイ上の密度をベジエ関数に：区間 [t_a, t_b] を u ∈ [0,1] に正規化すると s_i(u) は u の２次式（２次ベジエ関数）。 ベジエ関数の乗算で f(s_i(u)) は ６次ベジエ関数 となり、総密度からしきい値を引いた
   G(u) = Σ_i f(s_i(u)) − T　（６次ベジエ関数，制御点 g_j は u = j/6 に配置）
4. ベジエクリッピング：制御点 (j/6, g_j) の凸包と u 軸の交差区間 [u_min, u_max] の外には解がないので、de Casteljau 法でその区間を切り出す。 縮小率が小さい（区間が 80% 以上残る）ときは２分割し、手前（t の小さい側）を優先して探索する。凸包が u 軸と交わらなければその区間に交点はない（取りこぼしなし）。
5. 法線と色：交点で密度の勾配 ∇F = Σ f′(s_i)·2(p − c_i)/R² を求め、−∇F を法線とする。色は各ボールの密度を重みとして混合する。