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2.4 2次元の座標変換

 2次元の座標変換を考える。変換には、移動、スケーリング(縮小・拡大)、回転などがある。これらの変換を一まとめに表現できる方法として、同次座標(homogenous coordinate)がある。

 点[x y]は同次座標では[x y 1]と表現する。また、同次座標で点[X Y W]は普通の座標系ではとなる点を表しているものとする。このWは倍率(重み)の役割をしている。W=0なら無限遠点を表現することになる。変換前の座標をP[x y]、変換後の座標をP'[x' y']とすると、変換は次のように表せる。

a) 移動(の移動量,の移動量)

  (2.2)

すなわち、

b) スケーリング(の倍率、の倍率)

  (2.3)

すなわち、

c) 回転(θ:回転角)

  (2.4)

すなわち、

  (2.5)

 このように、同次座標を使うと、多くの変換を統一的な3×3の変換行列の形式で書ける。また、多くの変換を続けて行う際、変換行列を予めかけ合わせることができる。例えば、-60度回転した後[1 2]ほど移動を考える。まず、回転行列は次式となる。

  (2.6)

 また、移動の変換行列は次式である。

  (2.7)

 したがって、両者の積を用いて次式の変換行列が得られる。

  (2.8)

図2.4: 2次元図形の回転移動

 図2.4にオリジナルの長方形およびその回転後の図形(図中の点線)を示す。例えば、点P[2 4]は、式(2.8)から変換後はとなる。

(d) アフィン変換

 2次元アフィン変換の一般型は次式で表せます。

  (2.9)

 (ただしa,b,c,d,D_x,D_yは定数、)上式において、a=d=1, b=c=0のときは平行移動、,,のときは拡大・縮小となります。したがって、アフィン変換は、拡大・縮小、反転などの変換と平行移動が結合された変換です。 図2.5にアフィン変換の例を示す。

図2.5

図2.5: アフィン変換の例


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