ベジエ関数表現とベジエクリッピング法による
パラメトリック曲線の多様な演算の計算法

1ｎ次ベジエ関数の解法n 次

• 制御点を (i/n, b_i) として凸包を作り、t 軸との交差区間 [t_min, t_max] に削る（第2節）。
• 区間の縮小が 20% 未満なら２等分。重根の近傍では縮小が遅くなるので、２分割の判断が重要。
• 早期判定：係数が全て同符号なら解なし、符号変化が１回なら単根が１つ（変動減少性）。
• 端点で f=0 となる根は隣接区間で重複検出されやすいので、最後に近接解を統合する。

2ｎ次多項式の解法n 次

• 実根の範囲をまず限定する：Cauchy の上界 |x| ≤ 1 + max_i<n|a_i/a_n| = R。
• x = −R + 2R·t と置換して区間 [−R, R] を t ∈ [0,1] に写し、項目3の変換でベジエ係数を得る（正負で２区間に分けても良い）。
• ニュートン法との比較が説得力のある実演になる：ニュートン法は初期値次第で同じ根に集中・発散するが、ベジエクリッピングは全根を確実に列挙。
• 高次（n ≳ 20）では変換時の桁落ちに注意。区間を分けて個別に変換すると安定。

3多項式からベジエ関数への変換n 次

• 例（3次）：b₀=a₀, b₁=a₀+a₁/3, b₂=a₀+2a₁/3+a₂/3, b₃=a₀+a₁+a₂+a₃。
• 確認：b₀ = p(0)、b_n = p(1)（全係数の和）になっていれば正しい。
• 一般区間 [α, β] では先に t = α + (β−α)s を代入（テイラーシフト）してから変換する。

4ｎ次ベジエ曲線の極値の検出n−1 次

• x 方向の極値は x′(t)=0、y 方向の極値は y′(t)=0。係数は制御点の差分 n(x_i+1−x_i) で、計算はほぼ不要。
• 端点 t=0,1 と極値点の座標の最小・最大で、厳密な包含箱（タイトなバウンディングボックス）が得られる。
• 任意方向 d の極値は d·C′(t) = 0（係数 d·(P_i+1−P_i)）。

5ｎ次ベジエ曲線の変曲点の検出2n−3 次

• x′, y′ は n−1 次、x″, y″ は n−2 次。積公式で x′y″ と y′x″ をそれぞれ 2n−3 次で計算し差を取る。
• t²ⁿ⁻³ の係数は常に相殺するため、実質の多項式次数は 2n−4（3次曲線なら２次方程式）。ベジエ表現は 2n−3 次のまま扱ってよい。
• σ の符号は曲がる向き（左/右）を表す。σ=0 で符号が変わる点だけが真の変曲点（重根は接するだけ）。

6ｎ次ベジエ曲線の曲率の極値検出4n−6 次

• σ′ は 2n−4 次、w′ は 2n−3 次。σ′w と σw′ はともに 4n−6 次になるので、そのまま係数ごとに差を取れる。
• 平方根を含む κ を直接扱わず、分子だけを多項式として取り出すのが要点（有理関数と同じ考え方）。
• w = 0（速さゼロ、カスプ）の点は特異点なので別扱い。3次曲線で N は 6 次。
• 曲率の極値＝曲線の「頂点」。フェアリング評価・工具経路の曲率制限に応用できる。

7ベジエ曲線の弧長パラメータ化2n−2 次

• 弧長は √ を含むため閉じた式にならない。被積分関数の２乗 w をベジエ関数として扱うのがポイント。
• w の係数の最小・最大は区間内の速さの上下限を与える（凸包性）→ 数値積分の誤差評価や区間分割の判定に使える。
• w′(t) = 0（2n−3 次）で速さの極値を求め、そこで分割するとガウス積分の精度が安定する。
• 等間隔点は s(t) − kL/N = 0 を解く。s は単調増加なので、区間を保ったままニュートン法／２分法で確実に求まる。

8ｎ次ベジエ曲線の自己交差の検出FAT Line

• そのまま自分自身と FAT Line 交差を行うと、t = s の自明解が全域で検出されてしまう。
• 対策：項目4の極値（x′=0, y′=0）で曲線を分割する。x, y ともに単調な部分曲線は自己交差しない。
• 分割した部分曲線の全ての組（隣接組は共有端点を除外）に FAT Line 法を適用する。
• FAT Line：一方の曲線の端点を結ぶ直線からの他方の制御点の距離を ｎ 次ベジエ関数として、２本の平行線の間でクリップ。3次曲線の自己交差は高々１点。

9ｎ次ベジエ曲線のオフセット曲線とトリミング2n−1 次

• オフセット曲線は一般に多項式・有理式にならないので、点列または近似曲線で表す。
• トリミング判定：オフセット上の点 P について E(u)=0 の全解と端点で |C(u)−P| の最小値を求め、それが |d| より小さければ P は不正（除去）。
• 凹側でカスプが生じるのは曲率半径 1/|κ| が |d| と一致する点。項目6の曲率と組み合わせると切り替わり点が予測できる。
• |C(u)−P|² は 2n 次で、その微分 /2 が E(u)。「距離関数の微分＝０が最近点」という統一的な枠組みの好例。

10面から曲面への距離関数n×m 次

• 平面（単位法線 n、オフセット d）からの符号付き距離は、制御点に対する距離 h_ij がそのまま係数になる（計算量は制御点数だけ）。
• 2変数のクリップ：u 方向は制御点 (i/n, h_ij) を全ての j について u-h 平面へ投影し凸包をとる。v 方向も同様に交互に削る。
• ２平面で交互にクリップすれば直線（レイ）との交点になる（1990年のレイトレーシングの原理）。第2部の曲面演算の基礎。

11点から曲面への距離関数2n×2m 次

• D は２乗距離なので √ を使わずに多項式のまま扱える。各成分の積を２変数版の積公式（u, v 方向それぞれに１変数の積公式）で計算する。
• D の係数の最小値は区間内の距離の下限を与えるので、「この部分曲面は遠い」と即座に枝刈りできる（球との衝突・最近点探索）。
• 連立方程式 D_u=D_v=0 は、両関数の (u,v) パッチを同時にクリップして解の存在領域を削る。境界（u,v=0,1）上の最小値も忘れずに調べる。

12線分とベジエ曲線の距離（交点・最近点）n 次 / n−1 次

• 係数は「各制御点から直線への符号付き距離」d_i = N·(P_i − A) だけ。直線を x 軸に回転移動したときの y 座標と同じで、計算量は制御点数のみ。
• d(t)=0 は無限直線との交点なので、得られた点の線分パラメータ s = (C(t)−A)·(B−A)/|B−A|² が 0 ≤ s ≤ 1 のものだけを採用する。
• 交点がないときの最短距離は ① d′(t)=0 の点（曲線上で直線に最も近い点）、② 曲線の端点 t=0,1、③ 線分の端点 A, B から曲線への最近点（項目13）の中の最小値。①で s が [0,1] 外なら③に任せる。
• FAT Line（曲線同士の交差）は、この「直線からの距離関数」を２本の平行線の間でクリップするものであり、本項目がその基礎になる。
• 拡張：有理ベジエ曲線は d(t) = Σ w_id_iB_iⁿ / W(t) なので交点は分子（n 次）を解く。最近点は (h′W − hW′) = 0 で 2n−1 次（h は分子）。エルミート曲線・Bスプラインはベジエ区間に変換すれば同じ処理。

13点とベジエ曲線の距離（最近点）2n−1 次

• C(t)−P の係数は P_i − P（制御点を P だけ平行移動するだけ）。x, y 成分ごとに積公式で (x−p_x)x′ + (y−p_y)y′ を計算する。
• 解は極小・極大の両方を含むので、全ての解と端点 t=0, 1 で D を評価し最小のものを選ぶ。端点は解に現れないことが多いので必ず候補に入れる。
• 枝刈り：D の係数の最小値は区間内の距離² の下限。現在の最良値より大きい区間は解かずに捨てられる（多数の曲線区間を扱うときに有効）。
• 同じ式は項目9（オフセットのトリミング）の判定式 E(u) そのもの。
• 拡張：有理ベジエ曲線 C = R/W では G = R − PW（n 次）とおくと C − P = G/W、最近点条件は G·(G′W − GW′) = 0 で 3n−1 次になる。

14点からベジエ曲線への接線2n−1 次

• C(t)−P と接線方向 C′(t) が平行（外積が０）な t が接点。項目13の内積を外積に置き換えただけで、同じ積公式で計算できる。
• f の符号は「点 P が曲線のどちら側にあるか」を表す。符号の変わる点が接点であり、得られた全ての t で P から C(t) に引いた直線が接線になる。
• 注意：C′(t) = 0（速さゼロのカスプ）や P が曲線上にある点でも f = 0 になるので、|C′| と |C−P| を確認して除外する。
• 応用：シルエット（輪郭）検出の２次元版であり、第2部の曲面の輪郭線 (S − E)·N = 0 に直結する。視点 P から見た曲線の可視境界も得られる。
• 拡張：有理ベジエ曲線でも G = R − PW とおくと条件は G × G′ = 0 に簡約され（G×G = 0 の項が消える）、次数は同じ 2n−1 次。

15ベジエ曲線の包含箱（バウンディングボックス）n−1 次

• 項目12「直線からの距離関数」で直線を座標軸にとった特別な場合。距離関数の微分＝０の点が最遠・最近点なので、その最大・最小が箱の辺になる。
• x′ の係数は n(x_i+1 − x_i) で、制御点の差分だけで得られる（項目4の極値と同じ計算）。
• 端点は x′=0 の解にならないことが多いので、必ず x₀, x_n（y も同様）を候補に入れる。
• 早期判定：制御点の x 座標が単調（x′ の係数が同符号）なら極値はなく、箱は端点だけで決まる。
• 制御点の箱（凸包の箱）は簡単だが大きすぎる。本方法の箱は曲線に接する厳密な（タイトな）箱。
• 拡張：任意の単位ベクトル d の直線を使えば d·C′(t) = 0 で傾いた箱（OBB）が得られる。主軸方向や曲線の弦方向を使うと箱がさらに小さくなる。有理曲線では分子 x′W − xW′（ベジエ表現 2n−1 次、最高次が相殺し実質 2n−2 次）を解く。

16ベジエ曲線の包含円2n 次の距離関数 ＋ 2n−1 次の微分

1. 初期値：２端点の中点 Q₀ = (P₀ + P_n)/2 を中心、端点までの距離を半径 R とする（２端点を直径の両端とする円）。
2. 早期判定：凸包性より、係数の最大値 d_max ≤ R² なら曲線全体が円の内側にあり、終了。また、隣り合う係数がともに d_k < R², d_k+1 < R² となる区間 k（2n 区間のうちの１つ）は円外の部分を含まないので切り捨てる。
3. 最遠点の検出：残った区間で e′(t) = 0 となる点をベジエクリッピング法で求める。距離関数は最大値付近で上に凸なので、両端からクリップされて速く収束する。精度が必要なのは最大値付近だけで、それ以外は粗い判定でよい。
4. 中心の移動：最遠点 F までの距離が R より大きければ、Q を２端点の垂直二等分線上で移動し、２端点と F の３点までの距離がすべて等しくなる点（３点の外接円の中心）を新しい中心とする。
   M を端点の中点、u を弦 P_n−P₀ に垂直な単位ベクトルとすると、Q = M + s u，s = (|M−P₀|² − |M−F|²) / (2 u·(M−F))。
5. 繰り返し：新しい Q, R で 2.〜4. を繰り返し、最遠距離が R 以下になったら終了。

• 注意：包含円の中心は一般に２端点の中点か、その垂直二等分線上にある。ただし端点での接線方向によっては、包含円が端点を通らない場合がある（文献[6]図6右）。下の実演では、外接円が最小にならない場合（３点が鈍角三角形をなす場合など）に、それまでに得た点の最小包含円（２点を直径とする円または３点の外接円）に切り替えている。
• ３次元・曲面への拡張：距離関数に z 成分を加えるだけで包含球になる。曲面 P(u,v) では４隅の点を包含する球から始め、u 方向と v 方向を交互にクリップして最遠点を求め、最遠点の方向へ Q を移動する。
• 交差判定との関係：包含円は「距離関数の最大値（e′ が正から負に変わる極大）」、円と曲線の交差・最近点は「距離関数の最小値（e′ が負から正に変わる極小）」を求める。どちらも同じ距離関数と同じアルゴリズムで処理できる。
• 多数点のサンプリングによる方法（計算量が大きい）や、制御多角形から求める方法（円が大きめになる）に比べ、最小に近い包含円を効率よく得られる。

実演：包含箱（項目15）と包含円（項目16）

制御点（青丸）をドラッグすると、包含箱と包含円をその場で再計算します。 灰色の破線＝包含箱、緑の破線＝初期円（２端点の中点が中心）、薄い円＝反復途中の円、赤＝最終の包含円、橙の×＝検出した最遠点。